Konsep penggunaan turunan
Nilai Maksimum dan Nilai Minimum
Nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) maksimum pada selang I bila f(a) > f(x) untuk
setiap x I. Sedangkan nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) minimum pada selang I bila f(a) <
f(x) untuk setiap x I.
Untuk menentukan jenis nilai ekstrim ( maksimum atau minimum ) dari fungsi f(x)
dapat dilakukan dengan Uji turunan kedua sebagai berikut :
1. Tentukan turunan pertama dan kedua, f '(x)dan f "(x)
2. Tentukan titik stasioner yaitu pembuat nol dari turunan pertama (f ' (x) 0 ), misalkan nilai
stasioner adalah x = a
3. Nilai f(a) merupakan nilai maksimum bila f "(a) 0 , sedangkan nilai f (a) merupakan nilai
minimum bila f "(a) 0 .
Contoh :
Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi f (x) x4 2x3 x2 5
Jawab :
Dari pembahasan pada contoh di sub bab sebelumnya didapatkan nilai stasioner fungsi adalah
x = -1, x = - ½ dan x = 0. Turunan kedua, f "(x) 12x2 12x 2 .
Untuk x = -1, f "(1) 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( -1 ) = -5.
Untuk x = - ½ ,f "( -1/2) = -1
f 1 dan fungsi mencapai maksimum dengan nilai maksimum f(-1/2) = -4 15/16
Untuk x = 0, f "(0) 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( 0 ) = -5
Fungsi Monoton
Grafik fungsi f(x) dikatakan naik pada selang I bila f x1f x2untuk
x1x2 ; x1, x2 I . Sedangkan f(x) dikatakan turun pada selang I bila
f x1f x2untuk x1x2 ; x1, x2 I . Fungsi naik atau turun disebut fungsi
monoton.
Dalam menentukan selang fungsi monoton naik atau turun digunakan
pengertian berikut. Gradien dari suatu garis didefinisikan sebagai tangen sudut ( )
yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu X positif, m = tan . Bila sudut
lancip (< ½ ) maka m > 0 dan m < style="font-family: Symbol;">a > ½ . Karena gradien garis
singgung suatu kurva y = f(x) di titik ( x,y ) diberikan dengan m = f ‘ ( x ) dan selang
fungsi naik atau turun berturut-turut ditentukan dari nilai gradiennya, maka selang
atau selang dimana fungsi monoton diberikan berikut :
1. Fungsi f(x) naik bila f ' (x)0
2. Fungsi f(x) turun bila f ' (x)0
Contoh :
Tentukan selang fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi f (x) x4 2x3 x2 5
Jawab :
Turunan pertama, f '(x) 4x3 6x2 2x .
Untuk f '(x) 4x3 6x2 2x 0 , maka fungsi naik pada –1 <> 0
dan fungsi turun pada x < -1 atau – ½ <>
Secara geometris, grafik fungsi y = f(x) cekung ke bawah di suatu titik bila kurva
terletak di bawah garis singgung kurva di titik tersebut. Sedangkan garfik fungsi y = f
( x ) cekung ke atas di suatu titik bila kurva terletak di atas garis singgung yang
melalui titik tersebut.


Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I =(a,b). Jika f I naik pada I, f dan grafikya cekung ke atas di sana, jika f I turun pada I, f cekung ke bawah.

teorema x
( Teorema Kecekungan ). Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b.).
i. Jika f II ( x ) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b).
ii. Jika f II ( x ) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b).
Contoh :
f(x)= 1/3 x3 –x2 -3x +4 tentukan nilai kecekungan atas dan bawah
Jawab:
Penyelesaian
F’(x)= x2-2x-3= (x=1) (x-3)
F”(x)=2x-2= 2(x-1)
Dengan menyelesaikan pertaksamaan (x+1) (x-3) > 0 dan lawannya dapat kita simpulkan bahwa f naik pada (minustakhingga ,-1 )dan (3, takhingga ) serupa dengan penyelesaiaan
2(x-1)> 0 dan 2 (x-1) memperlihatkan kepada kita bahwasnnya f cekung keatas pada (1, takhngga) dan cekung ke bawah pada (- takhingga , 1)
Maksimum dan Minimum Lokal

Andaikan S daerah asal
F memuat titik c. kita katakana bahwa :

1)f( c ) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c ) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S
ii). f( c ) nilai minimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c ) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S
iii). f( c ) nilai ekstrim local f jika ia berupa nilai maksimum local atau minimum local.




Teorema A
( Turunan pertama untuk ekstrim lokal ). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c
i. jika f’(x) >0 untuk semua x dalam (a,b), dan f’(x) <0 untuk semua x dalam (c,b), maka f ( c ) adalah nilai maksimum lokal f
ii. jika f’(x) <0>0 untuk semua x dalam (c,b), maka f ( c ) adalah nilai minimun lokal f
iii. jika f’(x) >0 bertanda sama pada kedua pihak c, maka f ( c ) bukan nilai ekstrim lokal f
Contoh :
Cari nilai ekstrim lokal dari f(x) = 10x2-80x + 40 pada (-∞,∞ ).
Penyelesaian :
f’(x) =10 x2 - 120x + 40 = 20x - 12 0
= 2 (10x- 60)
f’(x) = 0 dan 60
karena f’(x) = 2 (x-6)<0 untuk x <6, f turun pada (-∞,6]
karena 2 (x-6)>0 untuk x>3, f naik pada [6, ∞)
karena itu, menurut uji turunan pertama , f(6) = 36-72+4 = -32 , adalah nilai minimum lokal.





Teorema B
( Turunan kedua untuk ekstrim lokal ). Andaikan f ‘ dan f” ada pada setiap titik pada selang terbuka (a,b) yang memuat c dan andaikan f’ ( c ) = 0.
i. jika f”(c) < o, f(c ) adalah nilai maksimum lokal f
ii. jika f”(c) < o, f(c ) adalah nilai maksimum lokal f
Contoh :
Carilah nilai minimun dan maksimum lokal dari f (x) =10 x3 +30/20x2 - 180x + 60
Penyelesaian :
Untuk f (x) = 10x3 +30/20x2 - 180x + 60 gunakan uji turunan
f (x) =10 x3 +30/20x2 - 180x + 60
f’(x) = 30x2 + 30x- 18 0= x2 + x - 6 = (x+3) (x-2)
x = -3, x = 2
f”(x) = 6x + 3
f”(-3) = -15
f’’(2) = 15
menurut uji turunan kedua f”(-3)= -15 adalah nilai minimum lokal dan f’’(2) = 15 adalah nilai maksimum lokal.





1.4 Lebih Banyak Masalah Maks-Min
Ekstrim pada selang terbuka
Contoh :
Cari ( jika mungkin ) nilai minimum dari f(x) = 10x3 - 60 x2+ 90x - 60
pada (-∞,∞ ).
Penyelesaian :
f(x) =10 x3 - 60 x2+ 90x – 6 0
f’(x) = 30x2 - 120 x+ 90
= x2 - 4 x+ 3
(x-3) (x-1)
x = 3, x = 1
titik kritis 1,3
f(1) = x3 - 6 x2+ 9x – 6 = -2
f(3) = x3 - 6 x2+ 9x – 6 = 27-54+27-6 = 75
jadi f(1)= -2 adalah nilai miniumum lokal

Masalah-masalah Praktis
Contoh :
andy dilemparkakan dalam arah vertikal ke atas. Tinggi lemparan h (meter) setelah t detik di tentukan oleh h(t) = 1200t – 60t2 (meter). Tentukan nilai h maksimum.


Penyelesaian :
h(t) = 1200t – 30t2
h’(t) = dh/dt = 1200 – 60t
h”(t) = d 20h / dt2 = -60
syarat perlu ekstrim dh/dt = 0
1200 – 60t = 0
t = 200
Berdasarkan turunan kedua, karena h”(t) = d 20h / dt2 = -60 < 0 maka h mempunyai nilai maksimum. Nilai maksimum h adalah 20000 meter dicapai ketika t = 200.


1.5 Penerapan Ekonomik
Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x) yakni selisih antara pendapatan dan biaya
P(x) = R(x) – C(x) = xP (x) – C(x)
Contoh :
kost kostan dapat diselesaikan dalam tempo x hari dengan biaya proyek per hari sama dengan (30x + 15000/x - 900) juta rupiah. Tentukan biaya total minimum.
Penyelesaian :
P(x) = x (30x + 15000/x - 900)
P(x) = 30x2 - 900x + 15000
P’(x) = 60x - 900
P”(x)= 60
Syarat perlu ekstrim yaitu P’(x) = 0
P’(x) = 60x - 900 = 0
x = 15 0
Berdasarkan uji turunan kedua P”(x) = 60 > 0 maka P(x) mencapai nilai minimum yaitu :
P(150) = 30 (150)20 -900(150) + 15000 = 6750-13500+15000= 8250
Jadi biaya total minimum adalah 8.250 juta rupiah yang harus diselesaikan dalam tempo x = 150

1.6 Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga
Definisi
( Limit bila x = ∞ ). Andaikan f terdefinisi pada [c, ∞) untuk bilangan c.kita katakan bahma lim f(x)=L jika untuk masing-masing > 0, terdapat bilangan M yang
x- ∞
berpadanan sedemikian sehingga

x > M = [ f(x) – L ] <
Contoh :
Buktikan bahwa lim 20x / 40x +10 x2 = 0
x- ∞
Penyelesaian :
lim 20x / 40x + 10x2 = 0
x- ∞
= lim 20x/10x2 : 40x/10x2 + 10x2 /10x2= 0
x- ∞
= lim 20/10x : 40/10x + 1 0= 0
x- ∞
= 0 / 0+1 0= 0 Terbukti


1.7 Teorema Nilai Rata-rata
Teorema A
(Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup
[a,b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam dari (a,b) , maka terdapat paling sedikit satu bilang c dalam (a,b) di mana
f(b) – f(a) : b – a = f’(c)
atau
f(b) – f(a) = f’(c) ( b - a )

Contoh :
Andaikan f(x) = 20x2 + 30x – 60 pada [20,40], cari semua bilangan c yang memenuhi kesimpulan terhadap teorema nilai rata-rata.
f’(x) = 40x +30
dan
f(40) – f(20) : 40-20 = 380 – 80 : 20 = 150
karena itu,
40c + 30 = 150
Atau secara setara,
4c - 12 = 0