ANTI TURUNAN

Tugas 2 Kalkulus

Anti Turunan

Disusun Oleh :

Nama :Muhamad AGUS Susenda
Jurusan :Pendidikan Matematika
Nim :2225080164
Kelas : 2a
Mata Kuliah : Kalkulus 2








Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 September 1826 – 20 Juli 1866) (diucapkan REE mahn) ialah matematikawan Jerman yang membuat sumbangan penting pada analisis dan geometri diferensial, beberapa darinya meratakan jalan untuk pengembangan lebih lanjut pada relativitas umum. Namanya dihubungkan dengan fungsi zeta Riemann, integral Riemann, lema Riemann, manipol Riemann, teorema pemetaan Riemann, problem Riemann-Hilbert, teorema Riemann-Roch, persamaan Cauchy-Riemann dll.
Ia lahir di Breselenz, sebuah desa dekat Dannenberg di Kerajaan Hanover di Jerman sekarang. Ayahnya Friedrich Bernhard Riemann ialah pastor Lutheran di Breselenz. Bernhard merupakan anak kedua dari 6 bersaudara.
Pada 1840 Bernhard pergi ke Hanover untuk tinggal dengan neneknya dan mengunjungi Lyceum. Setelah kematian neneknya pada 1842 ia pindah ke Johanneum di Lüneburg. Pada 1846, pada usia 19, ia mulai belajar filologi dan teologi di Universitas Göttingen. Ia mengikuti ceramah Gauss. Pada 1847 ayahnya mengizinkannya berhenti belajar Teologi dan mulai belajar matematika.
Pada 1847 ia pindah ke Berlin, di mana Jacobi, Dirichlet dan Steiner mengajar. Ia tinggal di Berlin selama 2 tahun dan kembali ke Göttingen pada 1849.
Riemann menyelenggarakan ceramah pertamanya pada 1854, yang tak hanya menemukan bidang geometri Riemann namun menentukan tahapan untuk relativitas umum Einstein. Ia dipromosikan sebagai guru besar istimewa di Universitas Göttingen pada 1857 dan menjadi guru besar luar biasa pada 1859 menyusul kematian Dirichlet.
Pada 1862 ia menikahi Elise Koch.
Ia meninggal akibat tuberkulosis pada perjalanan ketiganya ke Italia di Selasca.
ANTI TURUNAN ( INTEGRAL TAK TENTU )
Definisi:
Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung dari I, F’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi.
NOTASI UNTUK ANTI TURUNAN. Karena kita telah memakai lambang Dx untuk operasi penentuan suatu turunan, adalah wajar untuk memakai Ax untuk operasi pencarian anti turunan. Jadi
Ax (x2) = 1/3 x3 + C.
Lalu Leibniz memakai lambang ∫ … dx yang disebut dengan notasi Leibniz, ditulis:
∫ x2dx = 1/3 x3 + C.
Teorema A
(Aturan pangkat). Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka
∫ xr dx = (xr+1) / (r + 1) + C.
Teorema B
∫ sin x dx = -cos x + C dan ∫ cos x dx = sin x + C
Banyak lagi yang dapat dikatakan mengenai cari penulisan (notasi). Dengan mengikuti Leibniz, kita sering memakai istilah integral tak tentu sebagai ganti anti turunan. Anti penurunan adalah juga mengintegralkan. Dalam lambang ∫ f(x) dx, ∫ disebut tanda integral dan f(x) disebut integran.
Teorema C
(Kelinieran dari ∫ … dx). Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka:
(i) ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx
(ii) ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx; dan tak tentu?
(iii) ∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx
Teorema D
(Aturan Pangkat yang diperumum). Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dari r suatu bilangan rasional yang bukan –1, maka :
∫ [g(x)]r g’(x) dx = {[g(x)]r+1/r+1} + C

Contoh Soal 1
Cari anti turunan yang umum dari f(x) = (8x – 7)
Penyelesaian :
∫ (8x – 7) dx = ∫ 8x dx - ∫ 7 dx
= 8 ∫ x dx – 7 ∫ 1 dx
= 8 ( x2/2 + C1 ) - 7 ( x + C2 )
= 4x2 - 7x + ( 8C1 - 7C2 )
= 4x2 - 7x + C
Contoh soal 2
Cari ∫ (3x2 + 2x ) dx !
Penyelesaian:
Berdasarkan Teorema C
∫ (3x2 + 2x ) dx = ∫ 3x2 dx + ∫ 2x dx
∫ (3x2 + 2x ) dx = 3 ∫ x2 dx + 2∫ x dx
∫ (3x2 + 2x ) dx = 3(x3/3 + C1) + 2(x2/2 + C2)
∫ (3x2 + 2x ) dx = 3x3 + x2 + (3C1 + 2C2)
∫ (3x2 + 2x ) dx = 3x3 + x2 + C

Contoh soal 3 , berdasar teorema D
Cari anti turunan ∫ (4x2 – 8x)2(8x – 8) dx
Penyelesaian
Andaikan u = 4x2 – 8x maka du = (8x – 8)
∫ (4x2 – 8x)2(4x – 8) dx = ∫ u2 du
= 1/3 u3 + C
= 1/3(x2 - 4x)3
PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

Dalam pasal sebelumnya, ditulis
∫ f(x) dx = F (x) + C
dan ini benar asalkan F’(x) = f(x). Dalam bahasa diferensial F’(x) = f(x) setara dengan dF(x) = f(x) dx
Apakah suatu persamaan diferensial itu?
Metode 1 Bilamana persamaan berbentuk dy/dx = g(x), kita amati bahwa y harus berupa suatu anti turunan dari g(x), yakni y = g(x) dx. Contoh: y =  2x dx = x2 + C.
Metode 2 Pikirkan dy/dx sebagai suatu hasil bagi dua diferensial. Bilamana kedua ruas dari dy/dx = 2x dikalikan dengan dx, diperoleh
dy = 2x dx
selanjutnya kedua ruas diintegralkan dan disederhanakan.
∫ dy = ∫ 2x dx
y + C1 = x2 + C2
y = x2 + C2 – C1
y = x2 + C
Masalah Gerak
Ingat bahwa jika s(t), v(t) dan a(t) masing-masing menyatakan posisi, kecepatan, dan percepatan, pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat, maka
v(t) = s’(t) = ds/dt
a(t) = v’(t) = dv/dt = d2s/dt2
CONTOH SOAL
Selesaikan persamaan diferensial dy/dx = (2x + 8x2) / y2
Kemudian cari penyelesaian bilamana x = 0 dan y = 2.
Penyelesaian:
y2 dy = (2x + 8x2) dx
jadi,
∫ y2 dy = ∫ (2x + 8x2) dx
1/3 y3 + C1 = 2x2/2 + 8/3 x3 + C2
y3 = 3x2+ 8 x3 + (3C2 – 3C1)
y3 = 3x2 + 8 x3 + C
y = 3√(3x2+ 8 x3 + C)
syarat x = 0, y = 4
2= 3√C
8 = C
Jadi
y = 3√3x2+ 8 x3 + 8
kemudian untuk pengecekan :
dy/dx = 1/3 (3x2 + 8 x3 + 8 )-2/3 (3x + 24x2)
= (x + 8x2) / (3x2/2 + 8 x3 + 8)2/3
pada ruas kanan diperoleh
(x + 8x2) / (y2) = (x + 8x2) / (3x2 + 8 x3 + 8 )2/3