Tugas 2 Kalkulus
Anti Turunan
Disusun Oleh :
Nama :Muhamad AGUS Susenda
Jurusan :Pendidikan Matematika
Nim :2225080164
Kelas : 2a
Mata Kuliah : Kalkulus 2
Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 September 1826 – 20 Juli 1866) (diucapkan REE mahn) ialah matematikawan Jerman yang membuat sumbangan penting pada analisis dan geometri diferensial, beberapa darinya meratakan jalan untuk pengembangan lebih lanjut pada relativitas umum. Namanya dihubungkan dengan fungsi zeta Riemann, integral Riemann, lema Riemann, manipol Riemann, teorema pemetaan Riemann, problem Riemann-Hilbert, teorema Riemann-Roch, persamaan Cauchy-Riemann dll.
Ia lahir di Breselenz, sebuah desa dekat Dannenberg di Kerajaan Hanover di Jerman sekarang. Ayahnya Friedrich Bernhard Riemann ialah pastor Lutheran di Breselenz. Bernhard merupakan anak kedua dari 6 bersaudara.
Pada 1840 Bernhard pergi ke Hanover untuk tinggal dengan neneknya dan mengunjungi Lyceum. Setelah kematian neneknya pada 1842 ia pindah ke Johanneum di Lüneburg. Pada 1846, pada usia 19, ia mulai belajar filologi dan teologi di Universitas Göttingen. Ia mengikuti ceramah Gauss. Pada 1847 ayahnya mengizinkannya berhenti belajar Teologi dan mulai belajar matematika.
Pada 1847 ia pindah ke Berlin, di mana Jacobi, Dirichlet dan Steiner mengajar. Ia tinggal di Berlin selama 2 tahun dan kembali ke Göttingen pada 1849.
Riemann menyelenggarakan ceramah pertamanya pada 1854, yang tak hanya menemukan bidang geometri Riemann namun menentukan tahapan untuk relativitas umum Einstein. Ia dipromosikan sebagai guru besar istimewa di Universitas Göttingen pada 1857 dan menjadi guru besar luar biasa pada 1859 menyusul kematian Dirichlet.
Pada 1862 ia menikahi Elise Koch.
Ia meninggal akibat tuberkulosis pada perjalanan ketiganya ke Italia di Selasca.
ANTI TURUNAN ( INTEGRAL TAK TENTU )
Definisi:
Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung dari I, F’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi.
NOTASI UNTUK ANTI TURUNAN. Karena kita telah memakai lambang Dx untuk operasi penentuan suatu turunan, adalah wajar untuk memakai Ax untuk operasi pencarian anti turunan. Jadi
Ax (x2) = 1/3 x3 + C.
Lalu Leibniz memakai lambang ∫ … dx yang disebut dengan notasi Leibniz, ditulis:
∫ x2dx = 1/3 x3 + C.
Teorema A
(Aturan pangkat). Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka
∫ xr dx = (xr+1) / (r + 1) + C.
Teorema B
∫ sin x dx = -cos x + C dan ∫ cos x dx = sin x + C
Banyak lagi yang dapat dikatakan mengenai cari penulisan (notasi). Dengan mengikuti Leibniz, kita sering memakai istilah integral tak tentu sebagai ganti anti turunan. Anti penurunan adalah juga mengintegralkan. Dalam lambang ∫ f(x) dx, ∫ disebut tanda integral dan f(x) disebut integran.
Teorema C
(Kelinieran dari ∫ … dx). Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka:
(i) ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx
(ii) ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx; dan tak tentu?
(iii) ∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx
Teorema D
(Aturan Pangkat yang diperumum). Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dari r suatu bilangan rasional yang bukan –1, maka :
∫ [g(x)]r g’(x) dx = {[g(x)]r+1/r+1} + C
Contoh Soal 1
Cari anti turunan yang umum dari f(x) = (8x – 7)
Penyelesaian :
∫ (8x – 7) dx = ∫ 8x dx - ∫ 7 dx
= 8 ∫ x dx – 7 ∫ 1 dx
= 8 ( x2/2 + C1 ) - 7 ( x + C2 )
= 4x2 - 7x + ( 8C1 - 7C2 )
= 4x2 - 7x + C
Contoh soal 2
Cari ∫ (3x2 + 2x ) dx !
Penyelesaian:
Berdasarkan Teorema C
∫ (3x2 + 2x ) dx = ∫ 3x2 dx + ∫ 2x dx
∫ (3x2 + 2x ) dx = 3 ∫ x2 dx + 2∫ x dx
∫ (3x2 + 2x ) dx = 3(x3/3 + C1) + 2(x2/2 + C2)
∫ (3x2 + 2x ) dx = 3x3 + x2 + (3C1 + 2C2)
∫ (3x2 + 2x ) dx = 3x3 + x2 + C
Contoh soal 3 , berdasar teorema D
Cari anti turunan ∫ (4x2 – 8x)2(8x – 8) dx
Penyelesaian
Andaikan u = 4x2 – 8x maka du = (8x – 8)
∫ (4x2 – 8x)2(4x – 8) dx = ∫ u2 du
= 1/3 u3 + C
= 1/3(x2 - 4x)3
PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Dalam pasal sebelumnya, ditulis
∫ f(x) dx = F (x) + C
dan ini benar asalkan F’(x) = f(x). Dalam bahasa diferensial F’(x) = f(x) setara dengan dF(x) = f(x) dx
Apakah suatu persamaan diferensial itu?
Metode 1 Bilamana persamaan berbentuk dy/dx = g(x), kita amati bahwa y harus berupa suatu anti turunan dari g(x), yakni y = g(x) dx. Contoh: y = 2x dx = x2 + C.
Metode 2 Pikirkan dy/dx sebagai suatu hasil bagi dua diferensial. Bilamana kedua ruas dari dy/dx = 2x dikalikan dengan dx, diperoleh
dy = 2x dx
selanjutnya kedua ruas diintegralkan dan disederhanakan.
∫ dy = ∫ 2x dx
y + C1 = x2 + C2
y = x2 + C2 – C1
y = x2 + C
Masalah Gerak
Ingat bahwa jika s(t), v(t) dan a(t) masing-masing menyatakan posisi, kecepatan, dan percepatan, pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat, maka
v(t) = s’(t) = ds/dt
a(t) = v’(t) = dv/dt = d2s/dt2
CONTOH SOAL
Selesaikan persamaan diferensial dy/dx = (2x + 8x2) / y2
Kemudian cari penyelesaian bilamana x = 0 dan y = 2.
Penyelesaian:
y2 dy = (2x + 8x2) dx
jadi,
∫ y2 dy = ∫ (2x + 8x2) dx
1/3 y3 + C1 = 2x2/2 + 8/3 x3 + C2
y3 = 3x2+ 8 x3 + (3C2 – 3C1)
y3 = 3x2 + 8 x3 + C
y = 3√(3x2+ 8 x3 + C)
syarat x = 0, y = 4
2= 3√C
8 = C
Jadi
y = 3√3x2+ 8 x3 + 8
kemudian untuk pengecekan :
dy/dx = 1/3 (3x2 + 8 x3 + 8 )-2/3 (3x + 24x2)
= (x + 8x2) / (3x2/2 + 8 x3 + 8)2/3
pada ruas kanan diperoleh
(x + 8x2) / (y2) = (x + 8x2) / (3x2 + 8 x3 + 8 )2/3
Sabtu, 21 Maret 2009
Sabtu, 14 Maret 2009
Konsep penggunaan turunan
Nilai Maksimum dan Nilai Minimum
Nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) maksimum pada selang I bila f(a) > f(x) untuk
setiap x I. Sedangkan nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) minimum pada selang I bila f(a) <
f(x) untuk setiap x I.
Untuk menentukan jenis nilai ekstrim ( maksimum atau minimum ) dari fungsi f(x)
dapat dilakukan dengan Uji turunan kedua sebagai berikut :
1. Tentukan turunan pertama dan kedua, f '(x)dan f "(x)
2. Tentukan titik stasioner yaitu pembuat nol dari turunan pertama (f ' (x) 0 ), misalkan nilai
stasioner adalah x = a
3. Nilai f(a) merupakan nilai maksimum bila f "(a) 0 , sedangkan nilai f (a) merupakan nilai
minimum bila f "(a) 0 .
Contoh :
Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi f (x) x4 2x3 x2 5
Jawab :
Dari pembahasan pada contoh di sub bab sebelumnya didapatkan nilai stasioner fungsi adalah
x = -1, x = - ½ dan x = 0. Turunan kedua, f "(x) 12x2 12x 2 .
Untuk x = -1, f "(1) 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( -1 ) = -5.
Untuk x = - ½ ,f "( -1/2) = -1
f 1 dan fungsi mencapai maksimum dengan nilai maksimum f(-1/2) = -4 15/16
Untuk x = 0, f "(0) 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( 0 ) = -5
Fungsi Monoton
Grafik fungsi f(x) dikatakan naik pada selang I bila f x1f x2untuk
x1x2 ; x1, x2 I . Sedangkan f(x) dikatakan turun pada selang I bila
f x1f x2untuk x1x2 ; x1, x2 I . Fungsi naik atau turun disebut fungsi
monoton.
Dalam menentukan selang fungsi monoton naik atau turun digunakan
pengertian berikut. Gradien dari suatu garis didefinisikan sebagai tangen sudut ( )
yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu X positif, m = tan . Bila sudut
lancip (< ½ ) maka m > 0 dan m < style="font-family: Symbol;">a > ½ . Karena gradien garis
singgung suatu kurva y = f(x) di titik ( x,y ) diberikan dengan m = f ‘ ( x ) dan selang
fungsi naik atau turun berturut-turut ditentukan dari nilai gradiennya, maka selang
atau selang dimana fungsi monoton diberikan berikut :
1. Fungsi f(x) naik bila f ' (x)0
2. Fungsi f(x) turun bila f ' (x)0
Contoh :
Tentukan selang fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi f (x) x4 2x3 x2 5
Jawab :
Turunan pertama, f '(x) 4x3 6x2 2x .
Untuk f '(x) 4x3 6x2 2x 0 , maka fungsi naik pada –1 <> 0
dan fungsi turun pada x < -1 atau – ½ <>
Secara geometris, grafik fungsi y = f(x) cekung ke bawah di suatu titik bila kurva
terletak di bawah garis singgung kurva di titik tersebut. Sedangkan garfik fungsi y = f
( x ) cekung ke atas di suatu titik bila kurva terletak di atas garis singgung yang
melalui titik tersebut.
Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I =(a,b). Jika f I naik pada I, f dan grafikya cekung ke atas di sana, jika f I turun pada I, f cekung ke bawah.
teorema x
( Teorema Kecekungan ). Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b.).
i. Jika f II ( x ) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b).
ii. Jika f II ( x ) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b).
Contoh :
f(x)= 1/3 x3 –x2 -3x +4 tentukan nilai kecekungan atas dan bawah
Jawab:
Penyelesaian
F’(x)= x2-2x-3= (x=1) (x-3)
F”(x)=2x-2= 2(x-1)
Dengan menyelesaikan pertaksamaan (x+1) (x-3) > 0 dan lawannya dapat kita simpulkan bahwa f naik pada (minustakhingga ,-1 )dan (3, takhingga ) serupa dengan penyelesaiaan
2(x-1)> 0 dan 2 (x-1) memperlihatkan kepada kita bahwasnnya f cekung keatas pada (1, takhngga) dan cekung ke bawah pada (- takhingga , 1)
Maksimum dan Minimum Lokal
Andaikan S daerah asal
F memuat titik c. kita katakana bahwa :
1)f( c ) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c ) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S
ii). f( c ) nilai minimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c ) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S
iii). f( c ) nilai ekstrim local f jika ia berupa nilai maksimum local atau minimum local.
Teorema A
( Turunan pertama untuk ekstrim lokal ). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c
i. jika f’(x) >0 untuk semua x dalam (a,b), dan f’(x) <0 untuk semua x dalam (c,b), maka f ( c ) adalah nilai maksimum lokal f
ii. jika f’(x) <0>0 untuk semua x dalam (c,b), maka f ( c ) adalah nilai minimun lokal f
iii. jika f’(x) >0 bertanda sama pada kedua pihak c, maka f ( c ) bukan nilai ekstrim lokal f
Contoh :
Cari nilai ekstrim lokal dari f(x) = 10x2-80x + 40 pada (-∞,∞ ).
Penyelesaian :
f’(x) =10 x2 - 120x + 40 = 20x - 12 0
= 2 (10x- 60)
f’(x) = 0 dan 60
karena f’(x) = 2 (x-6)<0 untuk x <6, f turun pada (-∞,6]
karena 2 (x-6)>0 untuk x>3, f naik pada [6, ∞)
karena itu, menurut uji turunan pertama , f(6) = 36-72+4 = -32 , adalah nilai minimum lokal.
Teorema B
( Turunan kedua untuk ekstrim lokal ). Andaikan f ‘ dan f” ada pada setiap titik pada selang terbuka (a,b) yang memuat c dan andaikan f’ ( c ) = 0.
i. jika f”(c) < o, f(c ) adalah nilai maksimum lokal f
ii. jika f”(c) < o, f(c ) adalah nilai maksimum lokal f
Contoh :
Carilah nilai minimun dan maksimum lokal dari f (x) =10 x3 +30/20x2 - 180x + 60
Penyelesaian :
Untuk f (x) = 10x3 +30/20x2 - 180x + 60 gunakan uji turunan
f (x) =10 x3 +30/20x2 - 180x + 60
f’(x) = 30x2 + 30x- 18 0= x2 + x - 6 = (x+3) (x-2)
x = -3, x = 2
f”(x) = 6x + 3
f”(-3) = -15
f’’(2) = 15
menurut uji turunan kedua f”(-3)= -15 adalah nilai minimum lokal dan f’’(2) = 15 adalah nilai maksimum lokal.
1.4 Lebih Banyak Masalah Maks-Min
Ekstrim pada selang terbuka
Contoh :
Cari ( jika mungkin ) nilai minimum dari f(x) = 10x3 - 60 x2+ 90x - 60
pada (-∞,∞ ).
Penyelesaian :
f(x) =10 x3 - 60 x2+ 90x – 6 0
f’(x) = 30x2 - 120 x+ 90
= x2 - 4 x+ 3
(x-3) (x-1)
x = 3, x = 1
titik kritis 1,3
f(1) = x3 - 6 x2+ 9x – 6 = -2
f(3) = x3 - 6 x2+ 9x – 6 = 27-54+27-6 = 75
jadi f(1)= -2 adalah nilai miniumum lokal
Masalah-masalah Praktis
Contoh :
andy dilemparkakan dalam arah vertikal ke atas. Tinggi lemparan h (meter) setelah t detik di tentukan oleh h(t) = 1200t – 60t2 (meter). Tentukan nilai h maksimum.
Penyelesaian :
h(t) = 1200t – 30t2
h’(t) = dh/dt = 1200 – 60t
h”(t) = d 20h / dt2 = -60
syarat perlu ekstrim dh/dt = 0
1200 – 60t = 0
t = 200
Berdasarkan turunan kedua, karena h”(t) = d 20h / dt2 = -60 < 0 maka h mempunyai nilai maksimum. Nilai maksimum h adalah 20000 meter dicapai ketika t = 200.
1.5 Penerapan Ekonomik
Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x) yakni selisih antara pendapatan dan biaya
P(x) = R(x) – C(x) = xP (x) – C(x)
Contoh :
kost kostan dapat diselesaikan dalam tempo x hari dengan biaya proyek per hari sama dengan (30x + 15000/x - 900) juta rupiah. Tentukan biaya total minimum.
Penyelesaian :
P(x) = x (30x + 15000/x - 900)
P(x) = 30x2 - 900x + 15000
P’(x) = 60x - 900
P”(x)= 60
Syarat perlu ekstrim yaitu P’(x) = 0
P’(x) = 60x - 900 = 0
x = 15 0
Berdasarkan uji turunan kedua P”(x) = 60 > 0 maka P(x) mencapai nilai minimum yaitu :
P(150) = 30 (150)20 -900(150) + 15000 = 6750-13500+15000= 8250
Jadi biaya total minimum adalah 8.250 juta rupiah yang harus diselesaikan dalam tempo x = 150
1.6 Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga
Definisi
( Limit bila x = ∞ ). Andaikan f terdefinisi pada [c, ∞) untuk bilangan c.kita katakan bahma lim f(x)=L jika untuk masing-masing > 0, terdapat bilangan M yang
x- ∞
berpadanan sedemikian sehingga
x > M = [ f(x) – L ] <
Contoh :
Buktikan bahwa lim 20x / 40x +10 x2 = 0
x- ∞
Penyelesaian :
lim 20x / 40x + 10x2 = 0
x- ∞
= lim 20x/10x2 : 40x/10x2 + 10x2 /10x2= 0
x- ∞
= lim 20/10x : 40/10x + 1 0= 0
x- ∞
= 0 / 0+1 0= 0 Terbukti
1.7 Teorema Nilai Rata-rata
Teorema A
(Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup
[a,b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam dari (a,b) , maka terdapat paling sedikit satu bilang c dalam (a,b) di mana
f(b) – f(a) : b – a = f’(c)
atau
f(b) – f(a) = f’(c) ( b - a )
Contoh :
Andaikan f(x) = 20x2 + 30x – 60 pada [20,40], cari semua bilangan c yang memenuhi kesimpulan terhadap teorema nilai rata-rata.
f’(x) = 40x +30
dan
f(40) – f(20) : 40-20 = 380 – 80 : 20 = 150
karena itu,
40c + 30 = 150
Atau secara setara,
4c - 12 = 0
Nilai Maksimum dan Nilai Minimum
Nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) maksimum pada selang I bila f(a) > f(x) untuk
setiap x I. Sedangkan nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) minimum pada selang I bila f(a) <
f(x) untuk setiap x I.
Untuk menentukan jenis nilai ekstrim ( maksimum atau minimum ) dari fungsi f(x)
dapat dilakukan dengan Uji turunan kedua sebagai berikut :
1. Tentukan turunan pertama dan kedua, f '(x)dan f "(x)
2. Tentukan titik stasioner yaitu pembuat nol dari turunan pertama (f ' (x) 0 ), misalkan nilai
stasioner adalah x = a
3. Nilai f(a) merupakan nilai maksimum bila f "(a) 0 , sedangkan nilai f (a) merupakan nilai
minimum bila f "(a) 0 .
Contoh :
Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi f (x) x4 2x3 x2 5
Jawab :
Dari pembahasan pada contoh di sub bab sebelumnya didapatkan nilai stasioner fungsi adalah
x = -1, x = - ½ dan x = 0. Turunan kedua, f "(x) 12x2 12x 2 .
Untuk x = -1, f "(1) 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( -1 ) = -5.
Untuk x = - ½ ,f "( -1/2) = -1
f 1 dan fungsi mencapai maksimum dengan nilai maksimum f(-1/2) = -4 15/16
Untuk x = 0, f "(0) 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( 0 ) = -5
Fungsi Monoton
Grafik fungsi f(x) dikatakan naik pada selang I bila f x1f x2untuk
x1x2 ; x1, x2 I . Sedangkan f(x) dikatakan turun pada selang I bila
f x1f x2untuk x1x2 ; x1, x2 I . Fungsi naik atau turun disebut fungsi
monoton.
Dalam menentukan selang fungsi monoton naik atau turun digunakan
pengertian berikut. Gradien dari suatu garis didefinisikan sebagai tangen sudut ( )
yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu X positif, m = tan . Bila sudut
lancip (< ½ ) maka m > 0 dan m < style="font-family: Symbol;">a > ½ . Karena gradien garis
singgung suatu kurva y = f(x) di titik ( x,y ) diberikan dengan m = f ‘ ( x ) dan selang
fungsi naik atau turun berturut-turut ditentukan dari nilai gradiennya, maka selang
atau selang dimana fungsi monoton diberikan berikut :
1. Fungsi f(x) naik bila f ' (x)0
2. Fungsi f(x) turun bila f ' (x)0
Contoh :
Tentukan selang fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi f (x) x4 2x3 x2 5
Jawab :
Turunan pertama, f '(x) 4x3 6x2 2x .
Untuk f '(x) 4x3 6x2 2x 0 , maka fungsi naik pada –1 <> 0
dan fungsi turun pada x < -1 atau – ½ <>
Secara geometris, grafik fungsi y = f(x) cekung ke bawah di suatu titik bila kurva
terletak di bawah garis singgung kurva di titik tersebut. Sedangkan garfik fungsi y = f
( x ) cekung ke atas di suatu titik bila kurva terletak di atas garis singgung yang
melalui titik tersebut.
Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I =(a,b). Jika f I naik pada I, f dan grafikya cekung ke atas di sana, jika f I turun pada I, f cekung ke bawah.
teorema x
( Teorema Kecekungan ). Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b.).
i. Jika f II ( x ) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b).
ii. Jika f II ( x ) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b).
Contoh :
f(x)= 1/3 x3 –x2 -3x +4 tentukan nilai kecekungan atas dan bawah
Jawab:
Penyelesaian
F’(x)= x2-2x-3= (x=1) (x-3)
F”(x)=2x-2= 2(x-1)
Dengan menyelesaikan pertaksamaan (x+1) (x-3) > 0 dan lawannya dapat kita simpulkan bahwa f naik pada (minustakhingga ,-1 )dan (3, takhingga ) serupa dengan penyelesaiaan
2(x-1)> 0 dan 2 (x-1) memperlihatkan kepada kita bahwasnnya f cekung keatas pada (1, takhngga) dan cekung ke bawah pada (- takhingga , 1)
Maksimum dan Minimum Lokal
Andaikan S daerah asal
F memuat titik c. kita katakana bahwa :
1)f( c ) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c ) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S
ii). f( c ) nilai minimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c ) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S
iii). f( c ) nilai ekstrim local f jika ia berupa nilai maksimum local atau minimum local.
Teorema A
( Turunan pertama untuk ekstrim lokal ). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c
i. jika f’(x) >0 untuk semua x dalam (a,b), dan f’(x) <0 untuk semua x dalam (c,b), maka f ( c ) adalah nilai maksimum lokal f
ii. jika f’(x) <0>0 untuk semua x dalam (c,b), maka f ( c ) adalah nilai minimun lokal f
iii. jika f’(x) >0 bertanda sama pada kedua pihak c, maka f ( c ) bukan nilai ekstrim lokal f
Contoh :
Cari nilai ekstrim lokal dari f(x) = 10x2-80x + 40 pada (-∞,∞ ).
Penyelesaian :
f’(x) =10 x2 - 120x + 40 = 20x - 12 0
= 2 (10x- 60)
f’(x) = 0 dan 60
karena f’(x) = 2 (x-6)<0 untuk x <6, f turun pada (-∞,6]
karena 2 (x-6)>0 untuk x>3, f naik pada [6, ∞)
karena itu, menurut uji turunan pertama , f(6) = 36-72+4 = -32 , adalah nilai minimum lokal.
Teorema B
( Turunan kedua untuk ekstrim lokal ). Andaikan f ‘ dan f” ada pada setiap titik pada selang terbuka (a,b) yang memuat c dan andaikan f’ ( c ) = 0.
i. jika f”(c) < o, f(c ) adalah nilai maksimum lokal f
ii. jika f”(c) < o, f(c ) adalah nilai maksimum lokal f
Contoh :
Carilah nilai minimun dan maksimum lokal dari f (x) =10 x3 +30/20x2 - 180x + 60
Penyelesaian :
Untuk f (x) = 10x3 +30/20x2 - 180x + 60 gunakan uji turunan
f (x) =10 x3 +30/20x2 - 180x + 60
f’(x) = 30x2 + 30x- 18 0= x2 + x - 6 = (x+3) (x-2)
x = -3, x = 2
f”(x) = 6x + 3
f”(-3) = -15
f’’(2) = 15
menurut uji turunan kedua f”(-3)= -15 adalah nilai minimum lokal dan f’’(2) = 15 adalah nilai maksimum lokal.
1.4 Lebih Banyak Masalah Maks-Min
Ekstrim pada selang terbuka
Contoh :
Cari ( jika mungkin ) nilai minimum dari f(x) = 10x3 - 60 x2+ 90x - 60
pada (-∞,∞ ).
Penyelesaian :
f(x) =10 x3 - 60 x2+ 90x – 6 0
f’(x) = 30x2 - 120 x+ 90
= x2 - 4 x+ 3
(x-3) (x-1)
x = 3, x = 1
titik kritis 1,3
f(1) = x3 - 6 x2+ 9x – 6 = -2
f(3) = x3 - 6 x2+ 9x – 6 = 27-54+27-6 = 75
jadi f(1)= -2 adalah nilai miniumum lokal
Masalah-masalah Praktis
Contoh :
andy dilemparkakan dalam arah vertikal ke atas. Tinggi lemparan h (meter) setelah t detik di tentukan oleh h(t) = 1200t – 60t2 (meter). Tentukan nilai h maksimum.
Penyelesaian :
h(t) = 1200t – 30t2
h’(t) = dh/dt = 1200 – 60t
h”(t) = d 20h / dt2 = -60
syarat perlu ekstrim dh/dt = 0
1200 – 60t = 0
t = 200
Berdasarkan turunan kedua, karena h”(t) = d 20h / dt2 = -60 < 0 maka h mempunyai nilai maksimum. Nilai maksimum h adalah 20000 meter dicapai ketika t = 200.
1.5 Penerapan Ekonomik
Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x) yakni selisih antara pendapatan dan biaya
P(x) = R(x) – C(x) = xP (x) – C(x)
Contoh :
kost kostan dapat diselesaikan dalam tempo x hari dengan biaya proyek per hari sama dengan (30x + 15000/x - 900) juta rupiah. Tentukan biaya total minimum.
Penyelesaian :
P(x) = x (30x + 15000/x - 900)
P(x) = 30x2 - 900x + 15000
P’(x) = 60x - 900
P”(x)= 60
Syarat perlu ekstrim yaitu P’(x) = 0
P’(x) = 60x - 900 = 0
x = 15 0
Berdasarkan uji turunan kedua P”(x) = 60 > 0 maka P(x) mencapai nilai minimum yaitu :
P(150) = 30 (150)20 -900(150) + 15000 = 6750-13500+15000= 8250
Jadi biaya total minimum adalah 8.250 juta rupiah yang harus diselesaikan dalam tempo x = 150
1.6 Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga
Definisi
( Limit bila x = ∞ ). Andaikan f terdefinisi pada [c, ∞) untuk bilangan c.kita katakan bahma lim f(x)=L jika untuk masing-masing > 0, terdapat bilangan M yang
x- ∞
berpadanan sedemikian sehingga
x > M = [ f(x) – L ] <
Contoh :
Buktikan bahwa lim 20x / 40x +10 x2 = 0
x- ∞
Penyelesaian :
lim 20x / 40x + 10x2 = 0
x- ∞
= lim 20x/10x2 : 40x/10x2 + 10x2 /10x2= 0
x- ∞
= lim 20/10x : 40/10x + 1 0= 0
x- ∞
= 0 / 0+1 0= 0 Terbukti
1.7 Teorema Nilai Rata-rata
Teorema A
(Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup
[a,b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam dari (a,b) , maka terdapat paling sedikit satu bilang c dalam (a,b) di mana
f(b) – f(a) : b – a = f’(c)
atau
f(b) – f(a) = f’(c) ( b - a )
Contoh :
Andaikan f(x) = 20x2 + 30x – 60 pada [20,40], cari semua bilangan c yang memenuhi kesimpulan terhadap teorema nilai rata-rata.
f’(x) = 40x +30
dan
f(40) – f(20) : 40-20 = 380 – 80 : 20 = 150
karena itu,
40c + 30 = 150
Atau secara setara,
4c - 12 = 0
Konsep penggunaan turunan
Nilai Maksimum dan Nilai Minimum
Nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) maksimum pada selang I bila f(a) > f(x) untuk
setiap x I. Sedangkan nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) minimum pada selang I bila f(a) <
f(x) untuk setiap x I.
Untuk menentukan jenis nilai ekstrim ( maksimum atau minimum ) dari fungsi f(x)
dapat dilakukan dengan Uji turunan kedua sebagai berikut :
1. Tentukan turunan pertama dan kedua, f '(x)dan f "(x)
2. Tentukan titik stasioner yaitu pembuat nol dari turunan pertama (f ' (x) 0 ), misalkan nilai
stasioner adalah x = a
3. Nilai f(a) merupakan nilai maksimum bila f "(a) 0 , sedangkan nilai f (a) merupakan nilai
minimum bila f "(a) 0 .
Contoh :
Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi f (x) x4 2x3 x2 5
Jawab :
Dari pembahasan pada contoh di sub bab sebelumnya didapatkan nilai stasioner fungsi adalah
x = -1, x = - ½ dan x = 0. Turunan kedua, f "(x) 12x2 12x 2 .
Untuk x = -1, f "(1) 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( -1 ) = -5.
Untuk x = - ½ ,f "( -1/2) = -1
f 1 dan fungsi mencapai maksimum dengan nilai maksimum f(-1/2) = -4 15/16
Untuk x = 0, f "(0) 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( 0 ) = -5
Fungsi Monoton
Grafik fungsi f(x) dikatakan naik pada selang I bila f x1f x2untuk
x1x2 ; x1, x2 I . Sedangkan f(x) dikatakan turun pada selang I bila
f x1f x2untuk x1x2 ; x1, x2 I . Fungsi naik atau turun disebut fungsi
monoton.
Dalam menentukan selang fungsi monoton naik atau turun digunakan
pengertian berikut. Gradien dari suatu garis didefinisikan sebagai tangen sudut ( )
yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu X positif, m = tan . Bila sudut
lancip (< ½ ) maka m > 0 dan m < style="font-family: Symbol;">a > ½ . Karena gradien garis
singgung suatu kurva y = f(x) di titik ( x,y ) diberikan dengan m = f ‘ ( x ) dan selang
fungsi naik atau turun berturut-turut ditentukan dari nilai gradiennya, maka selang
atau selang dimana fungsi monoton diberikan berikut :
1. Fungsi f(x) naik bila f ' (x)0
2. Fungsi f(x) turun bila f ' (x)0
Contoh :
Tentukan selang fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi f (x) x4 2x3 x2 5
Jawab :
Turunan pertama, f '(x) 4x3 6x2 2x .
Untuk f '(x) 4x3 6x2 2x 0 , maka fungsi naik pada –1 <> 0
dan fungsi turun pada x < -1 atau – ½ <>
Secara geometris, grafik fungsi y = f(x) cekung ke bawah di suatu titik bila kurva
terletak di bawah garis singgung kurva di titik tersebut. Sedangkan garfik fungsi y = f
( x ) cekung ke atas di suatu titik bila kurva terletak di atas garis singgung yang
melalui titik tersebut.
Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I =(a,b). Jika f I naik pada I, f dan grafikya cekung ke atas di sana, jika f I turun pada I, f cekung ke bawah.
teorema x
( Teorema Kecekungan ). Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b.).
i. Jika f II ( x ) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b).
ii. Jika f II ( x ) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b).
Contoh :
f(x)= 1/3 x3 –x2 -3x +4 tentukan nilai kecekungan atas dan bawah
Jawab:
Penyelesaian
F’(x)= x2-2x-3= (x=1) (x-3)
F”(x)=2x-2= 2(x-1)
Dengan menyelesaikan pertaksamaan (x+1) (x-3) > 0 dan lawannya dapat kita simpulkan bahwa f naik pada (minustakhingga ,-1 )dan (3, takhingga ) serupa dengan penyelesaiaan
2(x-1)> 0 dan 2 (x-1) memperlihatkan kepada kita bahwasnnya f cekung keatas pada (1, takhngga) dan cekung ke bawah pada (- takhingga , 1)
Maksimum dan Minimum Lokal
Andaikan S daerah asal
F memuat titik c. kita katakana bahwa :
1)f( c ) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c ) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S
ii). f( c ) nilai minimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c ) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S
iii). f( c ) nilai ekstrim local f jika ia berupa nilai maksimum local atau minimum local.
Teorema A
( Turunan pertama untuk ekstrim lokal ). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c
i. jika f’(x) >0 untuk semua x dalam (a,b), dan f’(x) <0 untuk semua x dalam (c,b), maka f ( c ) adalah nilai maksimum lokal f
ii. jika f’(x) <0>0 untuk semua x dalam (c,b), maka f ( c ) adalah nilai minimun lokal f
iii. jika f’(x) >0 bertanda sama pada kedua pihak c, maka f ( c ) bukan nilai ekstrim lokal f
Contoh :
Cari nilai ekstrim lokal dari f(x) = 10x2-80x + 40 pada (-∞,∞ ).
Penyelesaian :
f’(x) =10 x2 - 120x + 40 = 20x - 12 0
= 2 (10x- 60)
f’(x) = 0 dan 60
karena f’(x) = 2 (x-6)<0 untuk x <6, f turun pada (-∞,6]
karena 2 (x-6)>0 untuk x>3, f naik pada [6, ∞)
karena itu, menurut uji turunan pertama , f(6) = 36-72+4 = -32 , adalah nilai minimum lokal.
Teorema B
( Turunan kedua untuk ekstrim lokal ). Andaikan f ‘ dan f” ada pada setiap titik pada selang terbuka (a,b) yang memuat c dan andaikan f’ ( c ) = 0.
i. jika f”(c) < o, f(c ) adalah nilai maksimum lokal f
ii. jika f”(c) < o, f(c ) adalah nilai maksimum lokal f
Contoh :
Carilah nilai minimun dan maksimum lokal dari f (x) =10 x3 +30/20x2 - 180x + 60
Penyelesaian :
Untuk f (x) = 10x3 +30/20x2 - 180x + 60 gunakan uji turunan
f (x) =10 x3 +30/20x2 - 180x + 60
f’(x) = 30x2 + 30x- 18 0= x2 + x - 6 = (x+3) (x-2)
x = -3, x = 2
f”(x) = 6x + 3
f”(-3) = -15
f’’(2) = 15
menurut uji turunan kedua f”(-3)= -15 adalah nilai minimum lokal dan f’’(2) = 15 adalah nilai maksimum lokal.
1.4 Lebih Banyak Masalah Maks-Min
Ekstrim pada selang terbuka
Contoh :
Cari ( jika mungkin ) nilai minimum dari f(x) = 10x3 - 60 x2+ 90x - 60
pada (-∞,∞ ).
Penyelesaian :
f(x) =10 x3 - 60 x2+ 90x – 6 0
f’(x) = 30x2 - 120 x+ 90
= x2 - 4 x+ 3
(x-3) (x-1)
x = 3, x = 1
titik kritis 1,3
f(1) = x3 - 6 x2+ 9x – 6 = -2
f(3) = x3 - 6 x2+ 9x – 6 = 27-54+27-6 = 75
jadi f(1)= -2 adalah nilai miniumum lokal
Masalah-masalah Praktis
Contoh :
andy dilemparkakan dalam arah vertikal ke atas. Tinggi lemparan h (meter) setelah t detik di tentukan oleh h(t) = 1200t – 60t2 (meter). Tentukan nilai h maksimum.
Penyelesaian :
h(t) = 1200t – 30t2
h’(t) = dh/dt = 1200 – 60t
h”(t) = d 20h / dt2 = -60
syarat perlu ekstrim dh/dt = 0
1200 – 60t = 0
t = 200
Berdasarkan turunan kedua, karena h”(t) = d 20h / dt2 = -60 < 0 maka h mempunyai nilai maksimum. Nilai maksimum h adalah 20000 meter dicapai ketika t = 200.
1.5 Penerapan Ekonomik
Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x) yakni selisih antara pendapatan dan biaya
P(x) = R(x) – C(x) = xP (x) – C(x)
Contoh :
kost kostan dapat diselesaikan dalam tempo x hari dengan biaya proyek per hari sama dengan (30x + 15000/x - 900) juta rupiah. Tentukan biaya total minimum.
Penyelesaian :
P(x) = x (30x + 15000/x - 900)
P(x) = 30x2 - 900x + 15000
P’(x) = 60x - 900
P”(x)= 60
Syarat perlu ekstrim yaitu P’(x) = 0
P’(x) = 60x - 900 = 0
x = 15 0
Berdasarkan uji turunan kedua P”(x) = 60 > 0 maka P(x) mencapai nilai minimum yaitu :
P(150) = 30 (150)20 -900(150) + 15000 = 6750-13500+15000= 8250
Jadi biaya total minimum adalah 8.250 juta rupiah yang harus diselesaikan dalam tempo x = 150
1.6 Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga
Definisi
( Limit bila x = ∞ ). Andaikan f terdefinisi pada [c, ∞) untuk bilangan c.kita katakan bahma lim f(x)=L jika untuk masing-masing > 0, terdapat bilangan M yang
x- ∞
berpadanan sedemikian sehingga
x > M = [ f(x) – L ] <
Contoh :
Buktikan bahwa lim 20x / 40x +10 x2 = 0
x- ∞
Penyelesaian :
lim 20x / 40x + 10x2 = 0
x- ∞
= lim 20x/10x2 : 40x/10x2 + 10x2 /10x2= 0
x- ∞
= lim 20/10x : 40/10x + 1 0= 0
x- ∞
= 0 / 0+1 0= 0 Terbukti
1.7 Teorema Nilai Rata-rata
Teorema A
(Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup
[a,b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam dari (a,b) , maka terdapat paling sedikit satu bilang c dalam (a,b) di mana
f(b) – f(a) : b – a = f’(c)
atau
f(b) – f(a) = f’(c) ( b - a )
Contoh :
Andaikan f(x) = 20x2 + 30x – 60 pada [20,40], cari semua bilangan c yang memenuhi kesimpulan terhadap teorema nilai rata-rata.
f’(x) = 40x +30
dan
f(40) – f(20) : 40-20 = 380 – 80 : 20 = 150
karena itu,
40c + 30 = 150
Atau secara setara,
4c - 12 = 0
Nilai Maksimum dan Nilai Minimum
Nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) maksimum pada selang I bila f(a) > f(x) untuk
setiap x I. Sedangkan nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) minimum pada selang I bila f(a) <
f(x) untuk setiap x I.
Untuk menentukan jenis nilai ekstrim ( maksimum atau minimum ) dari fungsi f(x)
dapat dilakukan dengan Uji turunan kedua sebagai berikut :
1. Tentukan turunan pertama dan kedua, f '(x)dan f "(x)
2. Tentukan titik stasioner yaitu pembuat nol dari turunan pertama (f ' (x) 0 ), misalkan nilai
stasioner adalah x = a
3. Nilai f(a) merupakan nilai maksimum bila f "(a) 0 , sedangkan nilai f (a) merupakan nilai
minimum bila f "(a) 0 .
Contoh :
Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi f (x) x4 2x3 x2 5
Jawab :
Dari pembahasan pada contoh di sub bab sebelumnya didapatkan nilai stasioner fungsi adalah
x = -1, x = - ½ dan x = 0. Turunan kedua, f "(x) 12x2 12x 2 .
Untuk x = -1, f "(1) 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( -1 ) = -5.
Untuk x = - ½ ,f "( -1/2) = -1
f 1 dan fungsi mencapai maksimum dengan nilai maksimum f(-1/2) = -4 15/16
Untuk x = 0, f "(0) 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( 0 ) = -5
Fungsi Monoton
Grafik fungsi f(x) dikatakan naik pada selang I bila f x1f x2untuk
x1x2 ; x1, x2 I . Sedangkan f(x) dikatakan turun pada selang I bila
f x1f x2untuk x1x2 ; x1, x2 I . Fungsi naik atau turun disebut fungsi
monoton.
Dalam menentukan selang fungsi monoton naik atau turun digunakan
pengertian berikut. Gradien dari suatu garis didefinisikan sebagai tangen sudut ( )
yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu X positif, m = tan . Bila sudut
lancip (< ½ ) maka m > 0 dan m < style="font-family: Symbol;">a > ½ . Karena gradien garis
singgung suatu kurva y = f(x) di titik ( x,y ) diberikan dengan m = f ‘ ( x ) dan selang
fungsi naik atau turun berturut-turut ditentukan dari nilai gradiennya, maka selang
atau selang dimana fungsi monoton diberikan berikut :
1. Fungsi f(x) naik bila f ' (x)0
2. Fungsi f(x) turun bila f ' (x)0
Contoh :
Tentukan selang fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi f (x) x4 2x3 x2 5
Jawab :
Turunan pertama, f '(x) 4x3 6x2 2x .
Untuk f '(x) 4x3 6x2 2x 0 , maka fungsi naik pada –1 <> 0
dan fungsi turun pada x < -1 atau – ½ <>
Secara geometris, grafik fungsi y = f(x) cekung ke bawah di suatu titik bila kurva
terletak di bawah garis singgung kurva di titik tersebut. Sedangkan garfik fungsi y = f
( x ) cekung ke atas di suatu titik bila kurva terletak di atas garis singgung yang
melalui titik tersebut.
Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I =(a,b). Jika f I naik pada I, f dan grafikya cekung ke atas di sana, jika f I turun pada I, f cekung ke bawah.
teorema x
( Teorema Kecekungan ). Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b.).
i. Jika f II ( x ) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b).
ii. Jika f II ( x ) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b).
Contoh :
f(x)= 1/3 x3 –x2 -3x +4 tentukan nilai kecekungan atas dan bawah
Jawab:
Penyelesaian
F’(x)= x2-2x-3= (x=1) (x-3)
F”(x)=2x-2= 2(x-1)
Dengan menyelesaikan pertaksamaan (x+1) (x-3) > 0 dan lawannya dapat kita simpulkan bahwa f naik pada (minustakhingga ,-1 )dan (3, takhingga ) serupa dengan penyelesaiaan
2(x-1)> 0 dan 2 (x-1) memperlihatkan kepada kita bahwasnnya f cekung keatas pada (1, takhngga) dan cekung ke bawah pada (- takhingga , 1)
Maksimum dan Minimum Lokal
Andaikan S daerah asal
F memuat titik c. kita katakana bahwa :
1)f( c ) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c ) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S
ii). f( c ) nilai minimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c ) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S
iii). f( c ) nilai ekstrim local f jika ia berupa nilai maksimum local atau minimum local.
Teorema A
( Turunan pertama untuk ekstrim lokal ). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c
i. jika f’(x) >0 untuk semua x dalam (a,b), dan f’(x) <0 untuk semua x dalam (c,b), maka f ( c ) adalah nilai maksimum lokal f
ii. jika f’(x) <0>0 untuk semua x dalam (c,b), maka f ( c ) adalah nilai minimun lokal f
iii. jika f’(x) >0 bertanda sama pada kedua pihak c, maka f ( c ) bukan nilai ekstrim lokal f
Contoh :
Cari nilai ekstrim lokal dari f(x) = 10x2-80x + 40 pada (-∞,∞ ).
Penyelesaian :
f’(x) =10 x2 - 120x + 40 = 20x - 12 0
= 2 (10x- 60)
f’(x) = 0 dan 60
karena f’(x) = 2 (x-6)<0 untuk x <6, f turun pada (-∞,6]
karena 2 (x-6)>0 untuk x>3, f naik pada [6, ∞)
karena itu, menurut uji turunan pertama , f(6) = 36-72+4 = -32 , adalah nilai minimum lokal.
Teorema B
( Turunan kedua untuk ekstrim lokal ). Andaikan f ‘ dan f” ada pada setiap titik pada selang terbuka (a,b) yang memuat c dan andaikan f’ ( c ) = 0.
i. jika f”(c) < o, f(c ) adalah nilai maksimum lokal f
ii. jika f”(c) < o, f(c ) adalah nilai maksimum lokal f
Contoh :
Carilah nilai minimun dan maksimum lokal dari f (x) =10 x3 +30/20x2 - 180x + 60
Penyelesaian :
Untuk f (x) = 10x3 +30/20x2 - 180x + 60 gunakan uji turunan
f (x) =10 x3 +30/20x2 - 180x + 60
f’(x) = 30x2 + 30x- 18 0= x2 + x - 6 = (x+3) (x-2)
x = -3, x = 2
f”(x) = 6x + 3
f”(-3) = -15
f’’(2) = 15
menurut uji turunan kedua f”(-3)= -15 adalah nilai minimum lokal dan f’’(2) = 15 adalah nilai maksimum lokal.
1.4 Lebih Banyak Masalah Maks-Min
Ekstrim pada selang terbuka
Contoh :
Cari ( jika mungkin ) nilai minimum dari f(x) = 10x3 - 60 x2+ 90x - 60
pada (-∞,∞ ).
Penyelesaian :
f(x) =10 x3 - 60 x2+ 90x – 6 0
f’(x) = 30x2 - 120 x+ 90
= x2 - 4 x+ 3
(x-3) (x-1)
x = 3, x = 1
titik kritis 1,3
f(1) = x3 - 6 x2+ 9x – 6 = -2
f(3) = x3 - 6 x2+ 9x – 6 = 27-54+27-6 = 75
jadi f(1)= -2 adalah nilai miniumum lokal
Masalah-masalah Praktis
Contoh :
andy dilemparkakan dalam arah vertikal ke atas. Tinggi lemparan h (meter) setelah t detik di tentukan oleh h(t) = 1200t – 60t2 (meter). Tentukan nilai h maksimum.
Penyelesaian :
h(t) = 1200t – 30t2
h’(t) = dh/dt = 1200 – 60t
h”(t) = d 20h / dt2 = -60
syarat perlu ekstrim dh/dt = 0
1200 – 60t = 0
t = 200
Berdasarkan turunan kedua, karena h”(t) = d 20h / dt2 = -60 < 0 maka h mempunyai nilai maksimum. Nilai maksimum h adalah 20000 meter dicapai ketika t = 200.
1.5 Penerapan Ekonomik
Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x) yakni selisih antara pendapatan dan biaya
P(x) = R(x) – C(x) = xP (x) – C(x)
Contoh :
kost kostan dapat diselesaikan dalam tempo x hari dengan biaya proyek per hari sama dengan (30x + 15000/x - 900) juta rupiah. Tentukan biaya total minimum.
Penyelesaian :
P(x) = x (30x + 15000/x - 900)
P(x) = 30x2 - 900x + 15000
P’(x) = 60x - 900
P”(x)= 60
Syarat perlu ekstrim yaitu P’(x) = 0
P’(x) = 60x - 900 = 0
x = 15 0
Berdasarkan uji turunan kedua P”(x) = 60 > 0 maka P(x) mencapai nilai minimum yaitu :
P(150) = 30 (150)20 -900(150) + 15000 = 6750-13500+15000= 8250
Jadi biaya total minimum adalah 8.250 juta rupiah yang harus diselesaikan dalam tempo x = 150
1.6 Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga
Definisi
( Limit bila x = ∞ ). Andaikan f terdefinisi pada [c, ∞) untuk bilangan c.kita katakan bahma lim f(x)=L jika untuk masing-masing > 0, terdapat bilangan M yang
x- ∞
berpadanan sedemikian sehingga
x > M = [ f(x) – L ] <
Contoh :
Buktikan bahwa lim 20x / 40x +10 x2 = 0
x- ∞
Penyelesaian :
lim 20x / 40x + 10x2 = 0
x- ∞
= lim 20x/10x2 : 40x/10x2 + 10x2 /10x2= 0
x- ∞
= lim 20/10x : 40/10x + 1 0= 0
x- ∞
= 0 / 0+1 0= 0 Terbukti
1.7 Teorema Nilai Rata-rata
Teorema A
(Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup
[a,b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam dari (a,b) , maka terdapat paling sedikit satu bilang c dalam (a,b) di mana
f(b) – f(a) : b – a = f’(c)
atau
f(b) – f(a) = f’(c) ( b - a )
Contoh :
Andaikan f(x) = 20x2 + 30x – 60 pada [20,40], cari semua bilangan c yang memenuhi kesimpulan terhadap teorema nilai rata-rata.
f’(x) = 40x +30
dan
f(40) – f(20) : 40-20 = 380 – 80 : 20 = 150
karena itu,
40c + 30 = 150
Atau secara setara,
4c - 12 = 0
Langganan:
Postingan (Atom)
